“Ang Paraang Definite Integral Sa Derivation ng Displacement sa Paksang Acceleration sa 1D Kinematics”
Sa nakarang naitala [1] ay natalakay ko ang derivation ng displacement $s$ gamit ang calculus at ang paraang ginamit ay ang indefinte integrals at kinalaunan ay kelangan pa hanapin ang constant ng integration. Sa pagkakaton naman ngayun ay kelangan mailahad kung paano ang isang paraan kung saan hindi na kelangan pa hanapin ang constant of integration at ito ay gamit ang definite integrals.
Mula sa acceleration na equated sa derivative ng velocity
$$ a=\frac{dv}{dt} \,, $$
marapating ipakita ito sa differential bago ma integrate
$$ dv = a \,dt \,. $$
Matapos ang paglipat ng equation sa differential form ay kelangan na ito ma integrate at ang interval ng integration para sa $dv$ sa kaliwang side ng equation ay mula $v_{0}$ hanggang $v(t)$, at sa kanang side naman ng equation ang interval ay mula sa $0$ hanggang sa $t$
$$ \int_{v_{0}}^{v(t)} dv = \int_{0}^t a \, dt $$
$$ v(t) – v_{0} = at $$
$$ v(t) = v_{0} + at \quad (1). $$
Matapos makuha ang velocity mula sa pag integrate ng acceleration ay kelangan naman kunin ang displacement mula integration ng velocity
$$ v = \frac{ds}{dt} $$
$$ ds = v \, dt \,, $$
at maari na natin isaplak ang equation (1) kaya naman
$$ ds = ( v_{0} + at)\, dt \,. $$
Sa pagkakataong ito ay kelangan na ma integrate ang both sides ng equation. Sa kaliwa ang interval ay $[s_{0}, s(t)]$ at sa kanan ang interval ay $[0, t]$
$$ \int_{s_{0}}^{s(t)} ds = \int_{0}^t ( v_{0} + at)\, dt $$
$$ \int_{s_{0}}^{s(t)} ds = \int_{0}^t v_{0} \, dt + \int_{0}^t at \, dt $$
$$ s(t) – s_{0} = v_{0}t + \frac{1}{2} at^2 $$
$$ s(t) = v_{0}t + \frac{1}{2} at^2 \,. $$
Makikita na ang paraang definite integrals ay di na kelangan pa hanapin ang constant of integration ngunit ang kapalit nito ay kelangan ang dagdag information patungkol sa interval ng integration.
[1] T. S. Ng Tawalisi, “Ang SL22B, kanselang malayuang takbo, at ang derivation ng displacement sa paksang acceleration sa 1D kinematics gamit ang indefinite integral,” Rant.li, Jun. 22, 2025. [Online]. Available: https://rant.li/tony-stark-ng-tawalisi/ang-sl22b-kanselang-malayuang-takbo-at-ang-acceleration-sa-1d-kinematics
© 2025 Tony Stark Ng Tawalisi ™