"Ang Velocity at Ang Mean Value Theorem sa Paksang 1D Kinematics"

June 20, 2025

“Ang Velocity at Ang Mean Value Theorem sa Paksang 1D Kinematics”

Pag dating sa velocity, dalawang uri ito. Ang average velocity

$$ v_{ave} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t+\Delta t) – x(t)}{\Delta t} $$

at ang instantaneous velocity

$$ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t) – x(t)}{\Delta t} \equiv \frac{dx}{dt}. $$

Ang pagkakaiba ay sa average velocity, ito ang displacement over change in time samantalang sa instantaneous velocity it ay ang limit ng change in position with respect to time o derivative ng position with respect to time.

Kung ilalagay sa graph ng position vs time at itrace ang isang function $x(t)$ makikita na ang $v_{ave}$ ay ang straight line na nag intersect sa function curve ng $x(t)$ sa points ng time $t_{i}$ at ng $t_{f}$ kung saan ang $t_{i}$ ay initial time at ang $t_{f}$ ay final time.

Ang instantaneous velocity $v(t)$ naman ay ang slope ng tangent line sa isang maliit na region sa curve dala ng proseso ng limit o derivative. Ito ang region ng curve kung saan nasa gitna ito ng $t_{i}$ at $t_{f}$ at pinaliit sa pamamagitan ng pagpapaliit ng $\Delta t$ na pinalalapit ito sa balyu ng $0$. Sa pagkakataong ito ay makikita na ang differential calculus.

Ang halimbawa na pinakita sa ika-apat na tsapter ng Classical Mechanics sa 1D Kinematics ay paano kunin ang instantaneous velocity gamit ang differential calculus at pinakita ito para sa position function na

$$ x(t) = x_{0} + \frac{1}{2} bt^2 $$

at gamit ang limit para sa velocity na

$$ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t) – x(t)}{\Delta t} \equiv \frac{dx}{dt}. $$

Kelangan ng position function na $x(t)$ ay ma evaluate para sa shifted point sa domain ($t+ \Delta t$) maliban pa sa independent variable na $t$ at matapos gawin ito ay isasalpak ang function sa instantaneous velocity o ang derivative ng position

$$ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t) – x(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(x_{0} + \frac{1}{2}b(t^2+2t \Delta t + \Delta t^2)) –(x_{0}+\frac{1}{2}bt^2) }{\Delta t} $$

$$ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} (bt + \frac{1}{2}b \Delta t) $$

$$ v(t) = bt. $$

Kung iisipin para mas shortcut ay imbes kunin ang velocity ng position function gamit ang derivative using limits of derivation from first principles ay pwede din na gamitin ang tinuro sa unibersidad na symbolic differentiation kaya ang derivative ng position function $x(t) =x_{0} + \frac{1}{2} bt^2$ ay

$$ v(t) = \frac{d}{dt} x(t) $$

$$ v(t) = \frac{d}{dt} (x_{0} + \frac{1}{2} bt^2) $$

$$ v(t) = bt. $$

Isa naman sa halimbawa na tinalakay ay patungkol sa Mean Value Theorem at ito ay patungkol sa pagkakaroon ng time $t_{1}$ s.t. $t_{i} < t_{1} < t_{f}$ kung saan ang x component ng velocity ay na satisfy ang

$$ \Delta x = v(t_{1}) (t_{f} – t_{i}). $$

Ang Mean Value Theorem ay nilalahad nito na sa region ng locus of points ng linya ng average velocity sa graph ng position vs time ay may region ito sa kahabaan ng linya na equal ito sa slope ng instantaneous velocity.

Ang implikasyun ng Mean Value Theorem ay mahalaga sa ilang piling mga sitwasyun. Halimbawa nito ay ang pagpapatunay na sa isang average velocity ay at some point in time ay may instantaneous velocity na equal sa average velocity. Alam naman natin na ang average velocity ay hindi laging parehas sa instantaneous velocity along $[t_{i},t_{f}]$ ngunit sa Mean Value Theorem ay sinisigurado nito na at least ay may isang point sa $[t_{i},t_{f}]$ na parehas ang instantaenous velocity sa average velocity. Marami pang aplikasyun ang Mean Value Theorem.