"Ang Pagkakamali sa Exponent Distribution Over Polynomials na May Degree 1 at...

May 17, 2025

“Ang Pagkakamali sa Exponent Distribution Over Polynomials na May Degree 1 at Pataas”

Ang aking buong akala na ang matematikang pahayag na ito

$$ \sqrt{4 – x^2} $$

ay maaring isulat bilang $(4 – x^2)^{\frac{1}{2}} = 4^\frac{1}{2} – x$, at hindi pala ito pwede. Isang bagay na aking nakaligtaan sa Algebra at hindi na naalala pa kaya naman ang binomial theorem

$$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$

kung susuriin ito mabuti ay lumalabas na

$$ (a+b)^2 \neq a^2 + b^2 $$

Napagtanto ko ito kanina lamang sa paglutas ng definite integrals gamit ang First Fundamental Theorem of Calculus kung saan

$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a) $$

$$ = F(x) \bigg|_a^b $$

at ang problemang nasa libro ay ang

$$ \int_{-2}^2 \ \sqrt{4 – x^2} \, dx $$

na nangangailangan ng kaalam sa geometry ay trigonometry.

Mas maganda na simple lamang ang mga bagay na kakailanganin kung nalulutas naman ang isang problema ng simpleng pamamaraan kaya't marapting gamiting ang insight sa geometry. Ang equation ng circle kung saan ang radius $r$ ay nasa origin $(0, 0)$, heto ay $x^2 + y^2 = r^2$ at ang integrand sa problema ay $\sqrt{4 – x^2}$ kung saan mapapansin na ang expression na ito ay derived mula manipulation ng equation ng circle

$$ x^2 + y^2 = r^2 $$

$$ y^2 = r^2 – x^2 $$

$$ y = \sqrt{r^2 – x^2} $$

at mapapansin ang halintulad ng integrand sa na derive na equation na ito kaya ang $4$ sa loob ng radical sign ay syang $r^2$ sa na manipula na equation ng circle.

Ang integration ay mula sa lower limit ng $-2$ hanggang sa upper limit ng $2$ kaya ang centro ni ay ang origin. Ang function $f(x)$ na nagsisilbing integrand ay maiproproject sa y axis at dahil positive ito ay nasa taas ng origin ng y-axis. Samakatwid ang definite integral na hinahanap dito ay ang area ng itaas na kalahating bahagi ng circle at dahil ang formula sa area ng circle ay $\pi r^2$, ang kalahti naman ay $\frac{1}{2} \pi r^2$.

Isa namang dapat din mapagtanto sa problemang ito ay pasok ito sa katangian ng integration ng even function dahil ang ating $y=\sqrt{4-x^2}$ ay isang even function at mapapatunayan ito sa pamamaraang

$$ f(x) = \sqrt{4 – x^2} $$

$$ f(-x) = \sqrt{4 – x^2} $$

at mapapansing hindi nagbago ang function $f(x)$ mapa positive o negative man ang $x$ at dahil dyan ang integral sa limits at ang value ng definite integral ay magbabago din at magiging

$$ 2 \, \int_0^2 \sqrt{4 – x^2} dx \quad. $$

Ang katangian ng even function ay nangangahulugan na may symmetry sa magkabilang tabi ng y-axis na para itong salamin ng kabila. Ang katangian naman ng odd function ay para sa symmetry ng origin ng isang coordiante system at ito ay rotational symmetry ngunit para lamang ito sa mga rotation na $180^\circ$ at pag lumagpas ito sa ganitong range ay may masisira sa definition ng function patungkol sa mapping ng domain papunta sa range at dahil dito ay hindi maituturing na symmetry ang lalagpas sa $180^\circ$.

Balik tayo sa tamang sagot sa definite integral na $2 \, \int_0^2 \sqrt{4 – x^2} dx$ at ito ay isa sa mga problemang mahirap ma solve algebraically kaya't importante na alam ang mga insights patungkol dito galing geometry o trigonometry at sa pagtala ko ngayun patungkol dito ay pinili ko ang insight galing geometry. Siguro sa sunod ay maitatala ko ang patungkol sa insight galing trigonometry nito. Dahil alam na natin na ang function sa loob ng integral o ang integrand na $y = \sqrt{4 – x^2}$ at ay nasa ganitong form ng equation ng circle $y^2 = r^2 – x^2$ ay alam narin na $r=2$. Ang formula sa area ng circle ay $\pi r^2$ ngunit dahil kalahati lamang ng circle ang ating nilulutas ayun sa sign ng integrand function na positive, ang area ay magiging kalahati din at ito ay $\frac{1}{2} \pi r^2$. Ngunit dahil ang bagong integral dala ng symmetry sa y-axis ay nahati ito sa dalawa kaya nga ang lower limit kung mapapansin ay naging $0$ imbes na $-2$ sa orihinal na form ng integral kanina ngunit ang paghati na ito sa integral ay sya namang conserved parin sa equation dala ng pagkakaroon ng constant $2$ sa labas ng integral. Ibig sabihin ang area ngayun ay nagi ng $\frac{1}{4} \pi r^2$.

Samakatwid, ang sagot sa definite integral natin na $2 \int_0^2 \sqrt{4 – x^2} dx$ ay

$$ 2\, \frac{1}{4}\pi 2^2 \bigg|_0^2 $$

$$ = \left[ 2\cdot \frac{1}{4} \pi (2^2) \right] – \left[ 2\cdot \frac{1}{4} \pi (0^2) \right] $$

$$ = \left[ 2\cdot \frac{1}{4} \pi (2^2) \right] – [0] $$

$$ =2\pi $$

Ang mahirap lang sa mga ganitong problema ay kung sanay ka lang sa algebraic methods pero kulang ka sa geometry at trigonometry, hindi mo ito ma sosolve. Hindi ko rin alam paano ito lutasin kaya sinaliksik ko muna ito dahil na curious ako kung bakit hindi sakto ang aking sagot sa sagot sa libro.